Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，側(cè)面PAB為等邊三角形．
（Ⅰ）當(dāng)PC=$\sqrt{3}$時，求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）當(dāng)平面PAB⊥平面ABC時，求三棱錐A-PBC的高．

Answer 1

分析 （I）計算AC，PA，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥PC，結(jié)合AC⊥BC得出AC⊥平面PBC，于是AC⊥PB；'
（II）取AB中點O，連結(jié)OP，求出S_△ABC，OP，S_△PBC，根據(jù)等體積法得出三棱錐A-PBC的高．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，BC=$\sqrt{3}$
∵△PAB是等邊三角形，∴PA=AB=2，
∴當(dāng)$PC=\sqrt{3}$時，AC²+PC²=PA²，∴AC⊥PC．
又AC⊥BC，PC?平面PBC，BC?平面PBC，CB∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，又PB?平面PBC，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）取AB中點O，連接PO，CO，則PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC=AB，PO⊥AB，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，
∵△ABC是直角三角形，△PAB是等邊三角形，AB=2，O是AB的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}AB$=1，OP=$\sqrt{3}$，
∴$PC=\sqrt{P{O^2}+O{C^2}}=\sqrt{3+1}=2$，
∴PB=PC=2，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點，BD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{13}}}{2}=\frac{{\sqrt{39}}}{4}$．
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OP$，
設(shè)三棱錐A-PBC的高為h，則V_A-PBC=$\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•h$
∴$h=\frac{{\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×OP}}{{\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{39}}}{4}}}=\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．