Question

給出數(shù)列{a_n}的條件如下：①設(shè)b_n=2a_n，{b_n}是等差數(shù)列；②設(shè)b_n-1=a_n-1+a_n（n≥2），{b_n}是等差數(shù)列；
③前n項的和S_n=n²+1；④設(shè)b_n=2a_n-1，數(shù)列{b_n}前n項和為n²．其中使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的條件的正確序號是 ________．

Answer 1

①，④
分析：①中根據(jù)，{b_n}是等差數(shù)列可推斷出a_n-a_n-1也是常數(shù)，進而推斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；②中根據(jù)數(shù)列的遞推可求得a_n+1-a_n-1為常數(shù)但不是相鄰的兩項，故數(shù)列{a_n}不一定是等差數(shù)列②不正確；③根據(jù)數(shù)列的遞推式可求得數(shù)列{a_n}的通項公式，推斷出不是等差數(shù)列；④中根據(jù)2a_n-1=n²-（n-1）²求得數(shù)列的通項公式，進而推斷出數(shù)列為等差數(shù)列．最后綜合可得答案．
解答：對于①{b_n}是等差數(shù)列，∴b_n-b_n-1=2a_n-2a_n-1=d（常數(shù)）
∴a_n-a_n-1=，故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，①正確．
∵b_n-1=a_n-1+a_n，∴b_n=a_n+a_n+1，兩式相減得a_n+1-a_n-1=d，數(shù)列{a_n}不一定是等差數(shù)列②不正確
③中S_n=n²+1，∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，但a₁=1²+1=2不符合a_n=2n-1
∴a_n=∴數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列
④2a_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，n≥2，a_n=n，當(dāng)n=1時a₁=1符合
∴a_n=n，∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
故答案為：①④
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生對等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識的綜合運用．