Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
①求f（x）的值域和f（x）圖象的對稱軸方程；
②z△ABC中，A、B、C表示三個內(nèi)角，若f（C）=1，求sin²A+sin²B-

3

sinAsinB的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的值域和對稱軸方程．②
②先根據(jù)已知條件求得C，進而利用余弦定理表示出c和a，b的關(guān)系式，最后通過正弦定理求得sin²A+sin²B-

3

sinAsinB的值．

解答： 解：①f（x）=

3

sin2x-1+cos2x=2sin（2x+

π

6

）-1，
∴f（x）的最大值為1，最小值為-3，即函數(shù)的值域為[-3，1]．
當2x+

π

6

=kπ+

π

2

時，即x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
②f（C）=2sin（2C+

π

6

）-1=1，
∴sin（2C+

π

6

）=1，
∴C=kπ+

π

6

（k∈Z）；
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

，
即c²=a²+b²-2abcos

π

6

=a²+b²-

3

ab，
故sin²A+sin²B-

3

sinAsinB=sin²C=

1

4

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了學生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用．