Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=a_n²+a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N ^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n=1時，解得a₁=1，n≥2時，a_n-a_n-1=1，由此求出數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而a_n=1+n-1=n．
（2）由已知得{b_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而bn=(

1

2

)n-1．c_n=a_nb_n=n•(

1

2

)n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）n=1時，2S₁=2a1=a₁²+a₁，
a₁²-a₁=0，解得a₁=0（各項均為正數(shù)，舍去）或a₁=1，
n≥2時，
2S_n=a_n²+a_n，
2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
2S_n-2S_n-1=2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵數(shù)列各項均為正，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N ^*），
∴{b_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴bn=(

1

2

)n-1．
∴c_n=a_nb_n=n•(

1

2

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n
=2-（n+2）•（

1

2

）ⁿ
∴Tn=4-(2n+4)•(

1

2

)n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．