Question

我們知道，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，因此可以判斷一點(diǎn)與一個(gè)圓的位置關(guān)系——當(dāng)該點(diǎn)到圓心的距離等于半徑時(shí)，該點(diǎn)在該圓上；當(dāng)該點(diǎn)到圓心的距離小于半徑時(shí)，該點(diǎn)在該圓內(nèi)；當(dāng)該點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時(shí)，該點(diǎn)在該圓上外．你能根據(jù)橢圓的定義來(lái)判斷一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于一個(gè)橢圓的位置關(guān)系嗎？如果能，應(yīng)該如何判斷？

Answer 1

答案：
解析：

分析：根據(jù)橢圓的定義，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，類比一個(gè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷可知． 　　解：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于2a時(shí)，該點(diǎn)位于這個(gè)橢圓上；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和小于2a時(shí)，該點(diǎn)位于這個(gè)橢圓內(nèi)；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和大于2a時(shí)，該點(diǎn)位于這個(gè)橢圓外． 　　同樣，直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是：直線與圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，當(dāng)這個(gè)一元二次方程的Δ＜0，相離；Δ＝0，相切；Δ＞0，相交．還可以依據(jù)圓心到直線的距離d與其半徑r間的大小關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系：當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．你能由此進(jìn)一步得到判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法嗎？ 當(dāng)焦點(diǎn)F1、F2在直線l的異側(cè)時(shí)，PF1＋PF2≥MF1＋MF2(其中點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，M是直線l與直線F1F2的交點(diǎn))，即直線l上任意點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離和最小是MF1＋MF2＝F1F2(其中點(diǎn)F1是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn))，若1F2＞2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相離；若1F2＝2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相切；若1F2＜2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相交． 　　同理，當(dāng)焦點(diǎn)F1、F2在直線l的同側(cè)時(shí)， 　　1F2＜M＋F2M＝F1M＋F2M＝F1F2＝2c＜2a， 　　綜上所述，設(shè)橢圓C：＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)F1、F2，直線l：Ax＋By＋C＝0，點(diǎn)F1是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，則有1F2＞2a直線l與橢圓C相離；1F2＝2a直線l與橢圓C相切；1F2＜2a直線l與橢圓C相交．