Question

我們知道，圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡，由此可以判斷一點與一個圓的位置關(guān)系——當該點到圓心的距離等于半徑時，該點在該圓上；當該點到圓心的距離小于半徑時，該點在該圓內(nèi)；當該點到圓心的距離大于半徑時，該點在該圓外．你能根據(jù)橢圓的定義來判斷一個點相對于一個橢圓的位置關(guān)系嗎？如果能，應(yīng)該如何判斷？

Answer 1

答案：
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解：當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和等于2a時，該點位于這個橢圓上；當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和小于2a時，該點位于這個橢圓內(nèi)；當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和大于2a時，該點位于橢圓外． 　　同樣，直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是：直線與圓(橢圓)方程聯(lián)立，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，當這個一元二次方程的△＜0，相離；△＝0，相切；△＞0，相交．還可以依據(jù)圓心到直線的距離d與其半徑r間的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系：當d＝r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離；當d＜r時，直線與圓相交．你能由此進一步得到判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法嗎？ 　　當焦點F1、F2在直線l的異側(cè)時，|PF1|＋|PF2|≥|MF1|＋|MF2|(其中點P是直線l上任意一點，M是直線l與直線F1F2的交點)，即直線l上任意點到兩焦點F1、F2的距離和最小，是|MF1|＋|MF2|＝|F1′F2|(其中點F1′是點F1關(guān)于直線l的對稱點)，若|F1′F2|＞2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相離；若|F1′F2|＝2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相切；若|F1′F2|＜2a，則相應(yīng)直線l與橢圓相交． 　　同理，當焦點F1、F2在直線l的同側(cè)時，也有上述 　　|F1′F2|＜|F1′M|＋|F2M|＝|F1M|＋|F2M|＝|F1F2|＝2c＜2a． 　　綜上所述，設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點F1、F2，直線l：Ax＋By＋C＝0，點F1′是點F1關(guān)于直線l的對稱點，則有|F1′F2|＞2a 提示：