Question

若定義域?yàn)?B>R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，[f(x)]_max＝M，[f(x)]_min＝m，且M≠m，試探究函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域R上的最值，并把你探究得到的結(jié)論用代數(shù)方法證明．

Answer 1

答案：
解析：

結(jié)論(1)若，則在函數(shù)f(x)在定義域上，；(2)若，則在函數(shù)f(x)在定義域上，．(4分) 　　證明　因?yàn)?I>x≥0時(shí)，，即，由f(x)是奇函數(shù)得：，即時(shí)，． 　　所以在函數(shù)f(x)的定義域R上，值域?yàn)閇－M，－m][m，M](※)．(2分) 　　(1)當(dāng)時(shí)，則M＞0(假設(shè)M0，由得－M，進(jìn)一步，與M＞m矛盾)． 　�、偃�m≥0，由及M＞0得：M＞m，進(jìn)一步－M＜－mm＜M，所以在函數(shù)f(x)在定義域上，值域仍為[－M，－m][m，M]，從而； 　　②若m＜0，由及M＞0得：M≥－m，進(jìn)一步．由(※)得：在函數(shù)f(x)的定義域上，值域改寫為[－M，M]，所以；(4分) 　　(2)當(dāng)時(shí)，則m＜0(假設(shè)m≥0，由得：，進(jìn)一步，與M＞m矛盾)． 　�、偃�M≥0，由，m＜0得：M＜－m，進(jìn)一步m＜－MM＜－m，由(※)得：在函數(shù)f(x)的定義域上，值域改寫為[m，－m]，所以； 　�、谌�M＜0，由，m＜0得：M＞m，進(jìn)一步m＜M＜－M＜－m，由(※)得：在函數(shù)f(x)的定義域上，值域改寫為[m，M][－M，－m]， 　　所以．(4分)