Question

已知點，曲線上的動點滿足,定點，由曲線外一點向曲線引切線，切點為，且滿足.

（1）求線段長的最小值；

（2）若以為圓心所作的圓與曲線有公共點，試求半徑取最小值時圓的標準方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的點乘、平面內兩點間距離公式等基礎知識.考查數形結合的數學思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用向量的點乘求出點的軌跡方程，數形結合找出，所以，然后配方法求最值；第二問，利用兩圓的位置關系列出不等式，用配方法求最值，得到圓心和半徑，寫出圓的標準方程.

試題解析：（Ⅰ）設，則，

∴，

即點軌跡(曲線)方程為，即曲線是．      2分

連∵為切點，，由勾股定理有：．

又由已知，故．

即：，

化簡得實數間滿足的等量關系為：，即．（4分）

∴＝，

故當時，即線段長的最小值為     7分

（另法）由點在直線：上．

∴，即求點到直線的距離．

∴（7分）

（Ⅱ）設的半徑為，∵與有公共點，的半徑為1，

即且．      8分

而，     9分

故當時，．            10分

此時,．        11分

得半徑取最小值時的標準方程為．          13分

（另法）與有公共點，半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線與的交點．

．

又，（10分）

解方程組，得．即，

∴所求標準方程為．（13分）

考點：1.向量的點乘；2.圓的標準方程；3.勾股定理；4.配方法求最值.