Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點．
（1）證明：EF∥平面PCD；
（2）求證：面PBD⊥面PAC；
（3）若PA=AB，求PD與平面PAC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）如圖連接BD，通過證明EF∥PD，證明EF∥平面PCD；
（2）證明BD⊥AC，PA⊥BD，證明BD⊥平面PAC，然后證明面PBD⊥面PAC；
（3）連接PE，說明∠EPD是PD與平面PAC所成的角．通過Rt△PAD≌Rt△BAD．在Rt△PED中，求出sin∠EPD的值，推出PD與平面PAC所成角的大�。�

解答：解：（1）證明：如圖連接BD，則E是BD的中點．
又F是PB的中點，所以EF∥PD，
因為EF不在平面PCD內(nèi)，所以EF∥平面PCD；
（2）因為ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD內(nèi)，
故面PBD⊥面PAC；
（3）連接PE，由（2）可知BD⊥平面PAC，
故∠EPD是PD與平面PAC所成的角．
因為PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，
所以Rt△PAD≌Rt△BAD．
因此PD=BD，在Rt△PED中sin∠EPD=

ED

PD

=

1

2

，∠PAD=30°，
所以PD與平面PAC所成角的大小是30°．

點評：本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，計算能力．