Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在[m，m+3]（ m＞0）上的最值；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx+1＞成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函數(shù)的最小值，使得a小于函數(shù)的最小值即可．
（II）要求函數(shù)的最值，不管遇到什么特殊的函數(shù)，一定要按照求最值的方法按部就班的來解，首先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，得到可能是極值點，根據(jù)極值點和區(qū)間兩個端點之間的關(guān)系，得到結(jié)果．
（III）要證不等式在一個區(qū)間上恒成立，把問題進行等價變形，由（Ⅱ）知a=-1時，f（x）=xlnx+x的最小值是，只要求函數(shù)最大值進行比較即可．
解答：解：（Ⅰ）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立．
令，
則F'，
在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=3，
所以a≤3．
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，f（x）=xlnx+x，f'（x）=lnx+2，
由f'（x）=0得．
①當(dāng)時，
在上f'（x）＜0，
在上f'（x）＞0
因此，f（x）在處取得極小值，也是最小值.．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0
因此，f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
②當(dāng)，f'（x）≥0，
因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，
所以f_min（x）=f（m）=m（lnm+1），f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
（Ⅲ）證明：問題等價于證明，
由（Ⅱ）知a=-1時，f（x）=xlnx+x的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取得，
設(shè)，則G'，易知，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到，
但，從而可知對一切x∈（0，+∞），都有成立．
點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時也要用導(dǎo)數(shù)來求最值．