Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b，a，c成等差數(shù)列，b≥c，已知B（-1，0），C（1，0）．   
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡L；   
（2）是否存在直線m，使m過點(diǎn)B并與曲線L交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且|PQ|恰好等于原點(diǎn)到直線m的距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)b，a，c成等差數(shù)列可得b+c=2a即|AB|+|AC|=4＞|BC|=2再結(jié)合b≥c可得點(diǎn)A的軌跡L是左半個(gè)橢圓（去掉左頂點(diǎn)）然后根據(jù)橢圓的定義即可寫出點(diǎn)A的軌跡方程．
（2）可假設(shè)存在直線m滿足題意則根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知要求|PQ|需將直線m與曲線L的方程聯(lián)立消去y然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂，x₁•x₂再代入弦長(zhǎng)公式即可求出|PQ|但在寫出過點(diǎn)B的直線時(shí)吥不知斜率存在與否故需對(duì)直線m的斜率存在與否進(jìn)行討論．
解答：解：（1）由題設(shè)知b+c=2a，|BC|=2
∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4
        又∵b≥c
∴由橢圓的定義知點(diǎn)A的軌跡L是左半個(gè)橢圓（去掉左頂點(diǎn)）即軌跡方程為：=1（-2＜x≤0）
    （2）假設(shè)存在直線m滿足題意
        ①當(dāng)m斜率存在時(shí)設(shè)m的方程為y=k（x+1），把它代入橢圓方程，消去y得（4k²+3）x²+8k²x-12+4k²=0．
          設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=-，x₁•x₂=
          又∵x₁≤0，x₂≤0
∴x₁x₂≥0
∴k²≥3，
∴|PQ|==
          設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為d，則d=
∵|PQ|=
∴=
∴k²=＜3，這與k²≥3矛盾，表明直線m不存在
      ②當(dāng)斜率不存在時(shí)m的方程為x=-1，此時(shí)|PQ|=|y₁-y₂|=3，d=1，|PQ|≠，
        所以不滿足題設(shè)
       綜上，滿足題設(shè)的條件不存在
點(diǎn)評(píng)：本題主要對(duì)直線與圓錐曲線的綜合問題的考察．解題的關(guān)鍵是第一問要求出點(diǎn)A所滿足的關(guān)系式|AB|+|AC|=4＞|BC|=2然后再根據(jù)橢圓的定義再結(jié)合限制條件即可求出點(diǎn)A的軌跡方程而對(duì)于第二問常用的解題思路是先假設(shè)這樣的直線m存在然后根據(jù)題中的條件看是否能求出此直線但再利用弦長(zhǎng)公式求|PQ|時(shí)需將直線m與曲線L的方程聯(lián)立消去y然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂，x₁•x₂故需對(duì)直線m的斜率的存在性進(jìn)行討論！