Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點的橫坐標為x，直線AB的斜率為k，有k=f′（x）成立？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出a的范圍，從而求出a的最小值．
（II）利用兩點連線的斜率公式求出k并且化簡k，求出f′（x）列出方程，通過換元構造新函數(shù)，通過導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，求出最值，得到矛盾．
解答：解：（Ⅰ）．（2分）
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，
則f′（x）≥0對x＞0恒成立，即對x＞0恒成立，
而當x＞0時，．
∴a≥1．
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，
則f′（x）≤0對x＞0恒成立，即對x＞0恒成立，這
是不可能的．
綜上，a≥1．
a的最小值為1．（6分）
（Ⅱ）假設存在，不妨設0＜x₁＜x₂.=．（9分）
．
若k=f′（x），則，即，即．（*）（12分）
令，（0＜t＜1），
則＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，與假設矛盾．∴k≠f′（x）．
因此，滿足條件的x不存在．（16分）
點評：解決是否存在這種探索性的問題，常假設存在去求，若求出則存在，若求不出則不存在．