Question

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=3．則

3x+y

xy

的最小值為

 

； 則

2x(y+1)

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=3．可得

3x+y

xy

=

1

3

(x+2y)(

3

y

+

1

x

)，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出；
②由于x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=3．可得x+2（y+1）=5．變形

2x(y+1)

≤

x+2(y+1)

2

即可得出．

解答： 解：①x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=3．
∴

3x+y

xy

=

1

3

(x+2y)(

3

y

+

1

x

)=

1

3

(7+

3x

y

+

2y

x

)≥

1

3

(7+2

3x y • 2y x

)=

7+2 6

3

，當(dāng)且僅當(dāng)

3

x=

2

y=

9 2 -3 3

5

時(shí)取等號(hào)．
∴

3x+y

xy

的最小值為

7+2 6

3

．
②∵x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=3．∴x+2（y+1）=5．
∴

2x(y+1)

≤

x+2(y+1)

2

=

5

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=2（y+1）=

5

2

時(shí)取等號(hào)．
∴

2x(y+1)

的最大值為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．