Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為a，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求異面直線AC與BC₁所成角的余弦值；

(2)求證：A₁B⊥面AB₁C.

Answer 1

解析：如圖過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC,垂足為點(diǎn)O，則BO⊥側(cè)面ACC₁A₁，連結(jié)A₁O.

在Rt△A₁BO中，

A₁B=，BO=，

∴A₁O=，又AA₁=a，AO=，

∴△A₁AO為直角三角形.

∴A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC.

(1)∵A₁C₁∥AC，

∴∠BC₁A₁或其補(bǔ)角為異面直線AC與BC₁所成的角.

∵A₁O面ABC，AC⊥BO，

∴AC⊥A₁B，∴A₁C₁⊥A₁B.

在Rt△A₁BC₁中，A₁B=a，A₁C₁=a，

∴BC₁=，∴cos∠BC₁A₁=.

∴異面直線AC與BC₁所成角的余弦值為.

(2)∵四邊形ABB₁A₁為菱形，∴AB₁⊥A₁B.

又A₁B⊥AC，

∴A₁B⊥面AB₁C.