Question

已知圓C：x²+y²-2x+4my+4m²=0，圓C₁：x²+y²=25，以及直線l：3x-4y-15=0．
（1）求圓C₁：x²+y²=25被直線l截得的弦長(zhǎng)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，圓C與圓C₁的公共弦平行于直線l；
（3）是否存在m，使得圓C被直線l所截的弦AB中點(diǎn)到點(diǎn)P（2，0）距離等于弦AB長(zhǎng)度的一半？若存在，求圓C的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相交弦所在直線的方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式即可求圓C₁：x²+y²=25被直線l截得的弦長(zhǎng)；
（2）求出兩圓的公共弦結(jié)合直線平行的條件即可求出直線l；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合弦長(zhǎng)關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閳AC1：x2+y2=25的圓心O（0，0），半徑r=5，
所以，圓心O到直線l：3x-4y-15=0的距離d：d=

|3×0-4×0-15|

32+42

=3，由勾股定理可知，
圓C1：x2+y2=25被直線l截得的弦長(zhǎng)為2

r2-d2

=2

25-9

=8．…（4分）
（2）圓C與圓C₁的公共弦方程為2x-4my-4m²-25=0，
因?yàn)樵摴�共弦平行于直線3x-4y-15=0，
則

2

3

=

-4m

-4

≠

-25

-5

，
解得：m=

2

3

…（7分）
經(jīng)檢驗(yàn)m=

2

3

符合題意，故所求m=

2

3

；    …（8分）
（3）假設(shè)這樣實(shí)數(shù)m存在．
設(shè)弦AB中點(diǎn)為M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以點(diǎn)P（2，0）在以弦AB為直徑的圓上． …（10分）
設(shè)以弦AB為直徑的圓方程為：x²+y²-2x+4my+4m²+λ（3x-4y-15）=0，
則

22-2×2+4m2+λ(3×2-15)=0 3× 2-3λ 2 -4× 4λ-4m 2 -15=0

⇒

4m2-9λ=0 16m-25λ-24=0

消去λ得：100m²-144m+216=0，25m²-36m+54=0
因?yàn)椤?36²-4×25×54=36（36-25×6）＜0
所以方程25m²-36m+54=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
所以，假設(shè)不成立，即這樣的圓不存在．         …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．