Question

已知半徑為2的定圓C外一定點A，且AC=4，在圓上任取一點P，以AP為一邊逆時針作等邊△APQ，當P在圓上運動時，建立適當的極坐標系，求點Q軌跡的極坐標方程，并轉化為直角坐標方程．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：如圖所示，以點A為極點，AC為極軸建立極坐標系．設Q（ρ，θ），則|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），化簡即可得出點Q的極坐標方程，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到直角坐標方程．

解答： 解：如圖所示，以點A為極點，AC為極軸建立極坐標系．
設Q（ρ，θ），則|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．
在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），
∴2²=ρ²+4²-2×4ρcos（θ-60°），
化為ρ²-8ρcos（θ-60°）+12=0，即為點Q的極坐標方程．
展開為ρ²-8ρ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)+12=0，
∴x2+y2-4x-4

3

y+12=0即為點Q的直角坐標方程．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、余弦定理的應用，考查了計算能力，屬于基礎題．