Question

設(shè)函數(shù)g（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）-2cos²（

π

8

x）+1．
（1）求f（x）的對稱中心，對稱軸，單調(diào)增區(qū)間．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求當(dāng)x∈[0，

4

3

]時y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)直接化簡函數(shù)的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求f（x）的最小正周期．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則有g(shù)（x）=f（2-x），化簡g（x）的表達式，利用x∈[0，

4

3

]，求出相位的范圍，利用余弦函數(shù)的值域求解函數(shù)g（x）的最大值．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）函數(shù)f（x）=sin（

π

4

x）-2cos²

π

8

x+1
=

3

2

sin

π

4

x-

1

2

cos

π

4

x-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x
=

3

sin（

π

4

x）…（4分）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8…（6分）
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則有g(shù)（x）=f（2-x），
由題意得：g（x）=f（2-x）=

3

sn[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

cos（

π

4

x+

π

3

）
當(dāng)0≤x≤

4

3

時，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
因此y=g（x）在區(qū)間[0，

4

3

]上的最大值為：

3

cos

π

3

=

3

2

．…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的周期余弦函數(shù)的值域的求法，考查計算能力，屬于中檔題．