Question

（2012•茂名二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C，點(diǎn)D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求證：BD⊥平面POA
（2）設(shè)AO∩BD=H，當(dāng)O為CH中點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)Q滿足

AQ

=

QP

，求直線OQ與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
∵O為CH的中點(diǎn)，∴PO=

3

．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．則O（0，0，0），A(3

3

，0，0)，
B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)．
由

AQ

=

QP

，得Q為AP的中點(diǎn)．
∴Q(

3 3

2

，0，

3

2

)．∴

OQ

=(

3 3

2

，0，

3

2

)．
設(shè)平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =0 n • BD =0

得

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，取x=1，得y=0，z=1．
∴

n

=(1，0，1)．
設(shè)直線OQ與平面PBD所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| n • OQ |

| n | | OQ |

=

| 3 3 2 + 3 2 |

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

=

2 5

5

．
因此直線OQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握菱形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角求線面角是解題的關(guān)鍵．