已知函數(shù)f（x）=x2-bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的零點，寫出滿足條件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，3]上的值域．

解：（1）因為f（0）=f（4），所以圖象的對稱軸為x==2，
∴b=4，函數(shù)表達式為f（x）=x2-4x+3，
解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函數(shù)的零點為：1和3
滿足條件f（x）＜0的x的集合為（1，3）
（2）f（x）=（x-2）2-1，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上為減函數(shù)
所以函數(shù)在x=2時，有最小值為-1，最大值小于f（0）=3
因而函數(shù)在區(qū)間（0，3]上的值域的為[-1，3）．
分析：（1）從f（0）=f（4）可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，用公式可以求出b=4，代入函數(shù)表達式，解一元二次不等式即可求出滿足條件f（x）＜0的x的集合；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的單調(diào)性可以得出函數(shù)在區(qū)間（0，3]上的最值，從而可得函數(shù)在（0，3]上的值域．
點評：本題主要考查二次函數(shù)解析式中系數(shù)與對稱軸的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性與值域問題，屬于中檔題．只要掌握了對稱軸公式，利用函數(shù)的圖象即可得出正確答案．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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