Question

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F(1，0)，C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(4，0)的直線l與拋物線C2分別相交于A ，B兩點(diǎn)．

(1)如圖所示，若，求直線l的方程；

(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）首先求得拋物線方程為 .

設(shè)直線方程為，并設(shè)

利用，得到 ；

聯(lián)立，可得，應(yīng)用韋達(dá)定理得到 ，

從而得到，求得直線方程.

（2）可求得對(duì)稱點(diǎn)，

代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對(duì)稱性不妨取,

橢圓設(shè)為聯(lián)立直線、橢圓方程并消元整理可得，

由，可得 ，即得解.

（1）由題知拋物線方程為 。 2分

設(shè)直線方程為，并設(shè)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719005257795171/SYS201411171901002813299230_DA/SYS201411171901002813299230_DA.024.png">，所以.

聯(lián)立，可得，有 4分

解得：，所以直線方程為： 6分

（2）可求得對(duì)稱點(diǎn)， 8分

代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對(duì)稱性不妨取,

設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元整理得， 10分

因?yàn)闄E圓與直線有交點(diǎn)，所以，

即：，解得 12分

即

∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.. 13分

考點(diǎn)：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.