Question

【題目】設(shè)直線(xiàn)分別是函數(shù) 圖象上點(diǎn)處的切線(xiàn)，垂直相交于點(diǎn)，且分別與軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( )

A. (1,+∞) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (0,1)

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，求出原分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到直線(xiàn)l1與l2的斜率，由兩直線(xiàn)垂直求得P1，P2的橫坐標(biāo)的乘積為1，再分別寫(xiě)出兩直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，求得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到|AB|，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程求得P的橫坐標(biāo)，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．

解：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x），當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x），

∴l1的斜率，l2的斜率，

∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，

∴，即x1x2＝1．

直線(xiàn)l1：，l2：．

取x＝0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），

|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．

聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

∴|AB||xP|．

∵函數(shù)y＝x在（0，1）上為減函數(shù)，且0＜x1＜1，

∴，則，

∴．

∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．

故選：D．