解答:解:(1)當x-2a在區(qū)間[1,4]上恒大于零時,
∵x-2a>0,∴a<
;
當x=1時,滿足x-2a在[1,4]上恒大于零,即a<
;
此時函數(shù)f(x)=
=1-
,
該函數(shù)在定義域[1,4]上為增函數(shù),在x=4時,取最大值f(4)=
,
∴a=
,不滿足a<
的假設,舍去.
(2)當x-2a在區(qū)間[1,4]上恒小于零時,
∵x-2a<0,∴a>
;
當x=4時,滿足x-2a在[1,4]上恒小于零,即a>2;
此時函數(shù)f(x)=
=
-1,
該函數(shù)在定義域[1,4]上為減函數(shù),在x=1時,取最大值f(1)=
,
∴a=
,不滿足a>2的假設,舍去.
(3)由前面討論知,當
<a<2時,x-2a在區(qū)間[1,4]上既有大于零又有小于零時,
①當x<2a時,x-2a<0,此時函數(shù)f(x)=
-1在[1,2a)上為減函數(shù),在x=1時,取到最大值f(1)=
;
②當x>2a時,x-2a>0.此時函數(shù)f(x)=1-
在(2a,4]時為增函數(shù),在x=4時,取到最大值f(4)=
;
總之,此時函數(shù)在區(qū)間[1,4]上先減后增,在端點處取到最大值;
當函數(shù)在x=1處取最大值時,解得a=
,此時函數(shù)f(x)=
,將函數(shù)的另一個最大值點x=4代入得:
f(4)=
,
∵f(1)>f(4),∴滿足條件;
當函數(shù)在x=4處取最大值時,解得a=
,此時函數(shù)f(x)=
,將函數(shù)的另一個最大值點x=1代入得:
f(1)=
,
∵f(1)<f(4),∴滿足條件;
∴a=
或a=
;
故答案為:
或
.