Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當a=

1

8

時
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（

3

2

）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（I）將a=

1

8

代入可得函數(shù)的解析式，
①求導數(shù)fˊ（x）；在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0確定的單調(diào)區(qū)間
②由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．令g（x）=f（x）-f（

3

2

）．利用函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，得到f（2）＞f（

3

2

），即g（2）＞0．最后取x′=

3

2

e＞2，則g（x′）=

41-9e2

32

＜0．從而得到結(jié)論；
（II）先由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知α＜

2a

2a

＜β，從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立關(guān)于a的不等關(guān)系即可證得結(jié)論．

解答：解：（I）①當a=

1

8

時，f（x）=lnx-

1

8

x2．
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

x=

1- 1 4 x2

x

，x∈（0，+∞），
令f′（x）=0，解得x=2．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

2a

2a

），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（

2a

2a

，+∞）．
證明：②由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
令g（x）=f（x）-f（

3

2

）．
由于f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
故f（2）＞f（

3

2

），即g（2）＞0．
取x′=

3

2

e＞2，則g（x′）=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（

3

2

）．
（II）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知α＜

2a

2a

＜β，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(α)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3)

即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a

從而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

點評：本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點等基礎知識，考查運算能力和運用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法．