Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（C）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角形的面積公式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先可以根據(jù)函數(shù)的解析式f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）直接利用函數(shù)相應的性質(zhì)，求得函數(shù)f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的取值集合，
（2）同樣可以利用具體的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）利用（1）函數(shù)f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）先求的C的大小，然后利用三角形的面積公式求的結(jié)果．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

） 則：f（x）的最小值為-

3

2

此時2x+

π

3

=2kπ-

π

2

 （k∈Z）解得：x=kπ-

5π

12

 （k∈Z）
所以相應的x的取值集合為：{x|x=x=kπ-

5π

12

 （k∈Z）}
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式：
T=

2π

2

=π
利用整體思想函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：
2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 （k∈Z）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

  （k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（3）由題意知f（C）=0
∴

3

2

sin(2C+

π

3

)=0
∴sin(2C+

π

3

)=0
∵C為三角形的內(nèi)角
∴0＜C＜π
則

π

3

＜2C+

π

3

＜2π+

π

3

解得：C=

π

3

或C=

5π

6

由于a=

3

，b=2
①當C=

π

3

時，根據(jù)三角巷的面積公式：
S_△=

1

2

absinC=

3

2

②當C=

5π

6

時，根據(jù)三角巷的面積公式：
S_△=

1

2

absinC=

3

2

點評：本題考查的知識點：正弦型三角函數(shù)函數(shù)的最值，最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間，以及解三角形的面積公式，要準確加以記憶．