Question

已知f（x）=x+

a

x

-2lnx，a∈R
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論a≤-1，-1＜a＜0，a≥0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2⇒1-

a

x2

-

2

x

＜2，解不等式1-

a

x2

-

2

x

＜2即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

(x-1)2-(a+1)

x2

，
a≤-1時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）遞增；
-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1+

1+a

，或0＜x＜1-

1+a

，
令f′（x）＜0，解得：1-

1+a

＜x＜1+

1+a

，
∴f（x）在（0，1-

1+a

），（1+

1+a

，+∞）遞增，在（1-

1+a

，1+

1+a

）遞減；a的
a≥0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1+

1+a

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1+

1+a

，
∴f（x）在（0，1+

1+a

）遞減，在（1+

1+a

，+∞）遞增．
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=f′（x）=1-

a

x2

-

2

x

，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2⇒1-

a

x2

-

2

x

＜2，
解不等式1-

a

x2

-

2

x

＜2得：a＞0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．