Question

（16）如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，點D是AB的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求證：AC ₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（16）

解法一：

（Ⅰ）∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，

∴ AC⊥BC₁；

（Ⅱ）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連結(jié)DE，

∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴ DE//AC₁.

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）∵ DE//AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴cos，

∴ 異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.

解法二：

∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC，BC，C₁C兩兩垂直。

如圖，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），

D（，2，0）.

（Ⅰ）∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），

∴·=0，∴AC⊥BC₁.

（Ⅱ）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，則E（0，2，2）.

∵=（-，0，2），=（-3，0，4），∴=，∴DE//AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴AC₁//平面CDB₁.

（Ⅲ）∵=（-3，0，4），=（0，4，4），

∴cos<，>=，

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.