Question

【題目】已知 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓離心率，直線通過點(diǎn),且傾斜角是45°.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得由離心率，可得,從而可得進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由點(diǎn)斜式可得直線的方程為： 將代入橢圓，求出的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式可得的面積.

試題解析：(1)由已知，又，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(2)因?yàn)?/span>,

所以直線的方程為：

將代入橢圓中整理得，

,

可解得,

∴,

點(diǎn)到直線的距離為： ,

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.