Question

已知向量

a

=（m，n），

b

=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2．
（1）設(shè)m=n=1，x為某三角形的內(nèi)角，求f（x）=-1時(shí)x的值；
（2）設(shè)m=4，n=3，當(dāng)函數(shù)f（x）取最大值時(shí)，求cos2x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題可知，當(dāng)m=n=1時(shí)，f（x）=

a

•

b

-2=sinx+cosx-2，由f（x）=-1，求得sin(x+

π

4

)=

2

2

．結(jié)合x(chóng)為三角形的內(nèi)角，求得x的值；
（2）當(dāng)m=4，n=3時(shí)，f（x）=5sin（x+φ）-2，當(dāng)且僅當(dāng)sin（x+φ）=1時(shí)，函數(shù)f（x）_max=3．由此求得x的值，從而求得cos2x的值．

解答： 解：（1）由題可知，f（x）=nsinx+mcosx-2，當(dāng)m=n=1時(shí)，f（x）=

a

•

b

-2=sinx+cosx-2，
∵f(x)=-1⇒sinx+cosx=1⇒

2

sin(x+

π

4

)=1，
∴sin(x+

π

4

)=

2

2

．
∵x為三角形的內(nèi)角，
∴x+

π

4

=

3π

4

⇒x=

π

2

．
（2）當(dāng)m=4，n=3時(shí)，f（x）=3sinx+4cosx-2=5sin（x+φ）-2，其中φ為銳角，且cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（x+φ）=1時(shí)，函數(shù)f（x）_max=3．此時(shí)x+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒x=2kπ+

π

2

-φ(k∈Z)，
∴cosx=cos(2kπ+

π

2

-φ)=sinφ=

4

5

，
∴cos2x=2cos2x-1=2sin2φ-1=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．