Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，證明，直線恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

(1)由題意可列出方程組,解出,即可得橢圓方程;

(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和直線斜率公式,列式化簡(jiǎn),即可得出答案.

(1)由題意得①,

又∵②,

且③,

由①②③可得,,,

∴橢圓的方程為.

(2)設(shè),,

若,則直線與直線的斜率之和等于,與題意不符,

∴可設(shè)直線方程為,

由,消去,可得,

∴,

化簡(jiǎn)得,

由韋達(dá)定理可得,,

又由題意可得,即,

∴,

即,

化簡(jiǎn)可得,∴或,

當(dāng)時(shí),直線的方程為,恒過(guò)定點(diǎn),

經(jīng)檢驗(yàn),不合題意,舍去;

當(dāng)時(shí),直線的方程為,恒過(guò)定點(diǎn).

綜上所述,直線恒過(guò)定點(diǎn).