Question

1．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知AB=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3，設(shè)AD=a，BC=b，CD=c，則$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值為2．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$，從而由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）=-3，得|（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）-$\overrightarrow{c}$|=2，從而$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）\overrightarrow{c}+3}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1}$，由此入手能求出$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值．

解答 解：∵在三棱錐D-ABC中，AB=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3，設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{c}}^{2}$=-3，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$+3，
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，
∴|（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）-$\overrightarrow{c}$|=2，①
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}+3}{ab+1}$，②
將①兩邊平方得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=4$，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-4=2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$，
∴$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}-2=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$，
代入②中，得$\frac{{c}^{2}}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}+1}{ab+1}$，
∴$\frac{1}{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1+$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}{2}$
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+\frac{1}{2}（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow）$
=1+$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=2+{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$，
又${\overrightarrow{{c}^{\;}}}^{2}$=c²，${\overrightarrow{a}}^{2}={a}^{2}$，${\overrightarrow}^{2}=^{2}$，
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{2+{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2+2ab}{ab+1}$=2．
∴$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中關(guān)于邊長(zhǎng)的代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．