分析 由已知得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$,從而由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$)•($\overrightarrow+\overrightarrow{c}$)=-3,得|($\overrightarrow{a}-\overrightarrow$)-$\overrightarrow{c}$|=2,從而$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)\overrightarrow{c}+3}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1}$,由此入手能求出$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值.
解答 解:∵在三棱錐D-ABC中,AB=2,$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3,設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$,$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$,
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$)•($\overrightarrow+\overrightarrow{c}$)
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{c}}^{2}$=-3,
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$+3,
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow-\overrightarrow{c}$,
∴|($\overrightarrow{a}-\overrightarrow$)-$\overrightarrow{c}$|=2,①
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)•\overrightarrow{c}+3}{ab+1}$,②
將①兩邊平方得$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)•\overrightarrow{c}=4$,
∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-4=2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)•\overrightarrow{c}$,
∴$\frac{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}-2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)•\overrightarrow{c}$,
代入②中,得$\frac{{c}^{2}}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}+1}{ab+1}$,
∴$\frac{1}{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1+$\frac{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}}{2}$
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+\frac{1}{2}({\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow)$
=1+$\frac{1}{2}$(${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$),
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=2+{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$,
又${\overrightarrow{{c}^{\;}}}^{2}$=c2,${\overrightarrow{a}}^{2}={a}^{2}$,${\overrightarrow}^{2}=^{2}$,
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{2+{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2+2ab}{ab+1}$=2.
∴$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值為2.
故答案為:2.
點評 本題考查三角形中關(guān)于邊長的代數(shù)式的最小值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量知識的合理運用.
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A. | 671 | B. | 672 | C. | 673 | D. | 674 |
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