Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求的定義域.

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使是奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）在（2）的條件下，令，求證：

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）若函數(shù)有意義，則應(yīng)滿足，所以，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若為奇函數(shù)，則，即，整理有：，即，所以，即存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)；（3），所以，由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此只要證明出當(dāng)x>0時(shí)，即可。當(dāng)時(shí)，，，，所以問(wèn)題得證。

試題解析：（1）由得：

∴的定義域?yàn)?/span>

（2）由于的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，要使是奇函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有即：

解得：

∴存在實(shí)數(shù)，使是奇函數(shù)

（3）在（2）的條件下，，則

的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且

則為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。

當(dāng)時(shí)，即又，

∴

當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性得：分

綜上：成立。