Question

14．某校高三期中考試后，數學教師對本次全部數學成績按 1：20進行分層抽樣，隨機抽取了 20名學生的成績?yōu)闃颖�，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：

分數段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	總計
頻數				b
頻率	a	0.25

（Ⅰ）求表中 a，b 的值及成績在[90，110）范圍內的個體數，并估計這次考試全校高三數學成績的及格率（成績在[90，150]內為及格）；
（Ⅱ）設莖葉圖中成績在[100，120）范圍內的樣本的中位數為m，若從成績在[100，120）范圍內的樣品中每次隨機抽取1個，每次取出不放回，連續(xù)取兩次，求取出兩個樣本中恰好一個是數字m的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖知成績在[50，70）范圍內的有2人，在[110，130）范圍內的有3人，由此能估計這次考試全校高三數學成績的及格率．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，列出一切可能的結果組成的基本事件空間，設事件A=“取出的兩個樣本中恰好有一個是數字m”，求出A包含的基本事件個數，由此能求出∴取出兩個樣本中恰好一個是數字m的概率．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知成績在[50，70）范圍內的有2人，在[110，130）范圍內的有3人，
∴a=$\frac{2}{20}=0.1$，b=3，
成績在[90，110）范圍內的頻率為1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成績在[90，110）范圍內的樣本數為20×0.4=8，
估計這次考試全校高三學生數學成績的及格率為：
p=1-0.1-0.25=0.65．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，
一切可能的結果組成的基本事件空間為Ω={（100，102），（100，106），（100，116），（100，118），
（102，100），（102，106），（102，116），（102，118），（106，100），（106，102），（106，106），
（106，116），（106，118），（116，100），（116，102），（116，106），（116，118），（118，100），
（118，102），（118，106），（118，116），共21個基本事件組成，
設事件A=“取出的兩個樣本中恰好有一個是數字m”，
則A={（100，106），（102，106），（106，100），（106，102），（106，116），（106，118），（116，106），（118，106）}，
共由個基本事件組成，
∴P（A）=$\frac{8}{21}$．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．