Question

13．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)仍在拋物線上，則p的值等于6$±4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)焦點(diǎn)F關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為（a，b），由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)仍在拋物線上，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式、拋物線性質(zhì)列出方程組，能求出p的值．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)焦點(diǎn)F關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為（a，b），
∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)仍在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{2}}{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}-\frac{p}{2}}=1}\\{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}+\frac{2}=1}\\{^{2}=2pa}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1-\frac{p}{2}}\\{^{2}=2p}\end{array}\right.$，∴（1-$\frac{p}{2}$）²=2p，
解得p=6$±4\sqrt{2}$．
故答案為：6$±4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查拋物線、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．