Question

2．過(guò)△ABC的重心G作直線(xiàn)MN，分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N，若AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$BC，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，四邊形MNCB面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{5\sqrt{6}}{18}$
• B． $\frac{5\sqrt{6}}{9}$
• C． $\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{18}$

Answer 1

分析 設(shè)AM=pAB，AN=qAC，則可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=pq，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，G為△ABC重心，則AG=$\frac{2}{3}$AE，又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），則pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，則S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，從而有S_{四邊形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，求得S_△ABC的最大值，即可得解．

解答 解：設(shè)AM=pAB，AN=qAC，則可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN•sinA}{\frac{1}{2}AB•AC•sinA}$=pq，
點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，G為△ABC重心，則AG=$\frac{2}{3}$AE．
又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABC}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABE}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ACE}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），
則pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，
解得pq≥$\frac{4}{9}$，當(dāng)且僅當(dāng)“p=q=$\frac{2}{3}$”時(shí)取“=”，
則S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，從而有S_{四邊形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}×x$×sinB≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)sinB=1，x=1，
綜上可得有S_{四邊形MNBC}≤$\frac{5}{9}$S_△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，即四邊形MNBC的面積的最大值為$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，
當(dāng)且僅當(dāng)MN∥BC時(shí)取“=”．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、三角形的面積之比，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題．