Question

如圖,ABCD是平行四邊形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).

(1)求證:AC⊥PB;

(2)求證:PB∥平面AEC;

(3)求二面角E-AC-B的大小.

Answer 1

(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,

∴AB是PB在平面ABCD上的射影.

又∵AB⊥AC,AC面ABCD,

∴AC⊥PB.

(2)證明:連結(jié)BD,與AC相交于O,連結(jié)EO.

∵ABCD是平行四邊形,

∴O是BD的中點(diǎn).

又E是PD的中點(diǎn),

∴EO∥PB.

又PB平面AEC,EO平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(3)解:取AD的中點(diǎn)F,

∵E是PD的中點(diǎn),∴EF∥PA.

∵PA⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.

連結(jié)FO,易得FO∥AB.

∵AB⊥AC,∴FO⊥AC.

∴EO⊥AC.∴∠EOF為二面角E-AC-B的補(bǔ)角,

易得△EFO為等腰直角三角形,

∴∠EOF=45°.

∴二面角E-AC-B的大小為135°.