（2013•黑龍江二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，
3
2
）兩點，O為坐標(biāo)原點．
（I ）求橢圓C的方程；
（II）若以點O為端點的兩條射線與橢圓c分別相交于點M，N且
MN
丄
ON
，證明：點O到直線MN的距離為定值．
分析：（I）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，
3
2
）兩點，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用向量知識及韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：（I）解：∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，
3
2
）兩點，
∴
a=2
1
a2
+
9
4b2
=1
，
∴a=2，b=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）證明：①當(dāng)直線MN的斜率不存在時，其方程為x=±
2
21
7
，則點O到直線MN的距離為
2
21
7
；
②當(dāng)直線MN的斜率存在時，其方程為y=kx+m，設(shè)M，N兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
將y=kx+m代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，則x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2

令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵
MN
丄
ON
，∴x1x2+y1y2=0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•
4m2-12
3+4k2
-km•
8km
3+4k2
+m2=0，
∴m2=
12(k2+1)
7
＜4k2+3
∴點O到直線MN的距離為d=
|m|
1+k2
=
2
21
7
，
由①②可得點O到直線MN的距離為定值
2
21
7
．
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查點到直線的距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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3
5
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4
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3
5
）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為
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{-1，2}
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1
e
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