Question

已知函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

（-∞，-

1

2

-

1

2

ln2）

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出求出這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由題意可得f（

2

2

）＜g（

2

2

），由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由于函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）都是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)在（0，+∞）上有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)x＞0時(shí)，令 h（x）=f（x）-g（x）=x²+t-lnx，則 h′（x）=2x-

1

x

．
令h′（x）=0可得x=

2

2

，故這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=

2

2

．
當(dāng)x=

2

2

時(shí)，f（x）=

1

2

+t，g（x）=ln

2

2

=-

1

2

ln2，
函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)有

1

2

+t＜-

1

2

ln2，
由此可得 t＜-

1

2

-

1

2

ln2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為 （-∞，-

1

2

-

1

2

ln2），
故答案為 （-∞，-

1

2

-

1

2

ln2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，求出這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=

2

2

，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．