【題目】已知橢圓的兩個焦點，與短軸的一個端點構(gòu)成一個等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓的左頂點的兩條直線，分別交橢圓于，兩點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

【答案】（1）;（2）證明見；解析；定點；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓相切得圓心到直線距離等于半徑列一個方程，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，解方程組得 ，即得結(jié)果；

（2）先設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立分別解得M,N坐標(biāo)，再求斜率（注意討論），利用點斜式得直線方程，即得定點坐標(biāo)；

（3）利用韋達定理以及弦長公式得，再根據(jù)三角形面積公式得面積的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最大值.

（1）由題意可得：，，

橢圓的方程為：.

（2）由題意知，設(shè)：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），，

，同理可得：.

i：當(dāng)時，直線斜率存在，

，

，直線過定點.

ii：當(dāng)時，直線斜率不存在，直線方程為：，也過定點，

綜上所述：直線過定點.

（3）設(shè)，由（2）知：

，

令，在單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自貢農(nóng)科所實地考察，研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植，兩種藥材，可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：

編號

1

2

3

4

5

年份

2015

2016

2017

2018

2019

單價（元/公斤）

18

20

23

25

29

藥材的收購價格始終為20元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：

（1）若藥材的單價（單位：元/公斤）與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計2020年藥材的單價；

（2）用上述頻率分布直方圖估計藥材的平均畝產(chǎn)量，若不考慮其他因素，試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材？并說明理由.

參考公式：，（回歸方程中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《最強大腦》是江蘇衛(wèi)視引進德國節(jié)目《Super Brain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目，節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式：不但要對空間感知、照相式記憶進行考核，而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試，分以上才有機會入圍，某重點高校準(zhǔn)備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān)，在該高校隨機抽取男、女學(xué)生各名，然后對這名學(xué)生進行腦力測試，規(guī)定：分數(shù)不小于分為“入圍學(xué)生”，分數(shù)小于分為“未入圍學(xué)生”，已知男生入圍人，女生未入圍人，

（1）根據(jù)題意，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān).

性別

入圍人數(shù)

未入圍人數(shù)

總計

男生

24

女生

80

總計

（2）用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機抽取名學(xué)生.

（�。┣筮@名學(xué)生中女生的人數(shù)；

（ⅱ）若抽取的女生的腦力測試分數(shù)各不相同（每個人的分數(shù)都是整數(shù)），求這名學(xué)生中女生測試分數(shù)的平均分的最小值.

附：，其中

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四個點，，，中有3個點在橢圓：上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于，兩點（，不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）討論函數(shù)的極值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關(guān)于圓的距離比.

（1）設(shè)圓求過（2,0）的直線關(guān)于圓的距離比的直線方程；

（2）若圓與軸相切于點（0,3）且直線= 關(guān)于圓的距離比，求此圓的的方程；

（3）是否存在點，使過的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓的距離比始終相等？若存在，求出相應(yīng)的點點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“水是生命之源”，但是據(jù)科學(xué)界統(tǒng)計可用淡水資源僅占地球儲水總量的，全世界近人口受到水荒的威脅．某市為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）：一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求直方圖中的值；

（2）設(shè)該市有60萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù)，并說明理由；

（3）若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價收費，估計的值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（2）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中以近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（�。├迷撜龖B(tài)分布，求；

（ⅱ）某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(127．6,140）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（�。┑慕Y(jié)果，求．

附：．若，則，．

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