Question

曲線P，P₁，P₂，…，已知P所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，P_k+1是對P_k進行如下操作得到的：將P_k的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0，1，2，3，…），記S_n為曲線P_k所圍成圖形面積．
①求數(shù)列{S_n}的通項公式；
②求．

Answer 1

【答案】分析：①先歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．猜想P_n的邊數(shù)為3×4ⁿ；已知P的面積為S=1，比較P₁與P，可得P₁在P的每條邊上增加了一個小等邊三角形，進一步，可歸納數(shù)列{S_n}的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
②利用數(shù)列{S_n}的通項公式，可求其極限的值．
解答：解：①對P進行操作，可得P的每條邊變成P₁的4條邊，故P₁的邊數(shù)為3×4；
同樣，對P₁進行操作，P₁的每條邊變成P₂的4條邊，故P₂的邊數(shù)為3×4²，從而得到P_n的邊數(shù)為3×4ⁿ 
已知P的面積為S=1，比較P₁與P，可得P₁在P的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而P有3條邊，故S₁=S+3×=1+
再比較P₂與P₁，可得P₂在P₁的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為×，而P₁有3×4條邊，故S₂=S₁+3×4×=1++
類似地有：S₃=S₂+3×4²×=1+++
∴S_n==1+=（※）                          
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（※）式
當(dāng)n=1時，由上面已知（※）式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時，有S_k=，則當(dāng)n=k+1時，可得第k+1次操作后，比較P_k+1與P_k，P_k+1在P_k的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而P_k有3×4^k條邊．
故S_k+1=S_k+3×4^k×=
綜上所述，對任何n∈N，（※）式成立．
②
點評：本題考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，考查數(shù)列的極限，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．