已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，2），離心率為
2
2
，過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)M．
（I）求橢圓Γ的方程；
（II）是否存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓Γ的右焦點(diǎn)F且與直線 x-2y-2=0相切？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（Ⅰ）依題意得
b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，解得
a=2
2
b=2
c=2
，
所以所求的橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點(diǎn)F且與直線x-2y-2=0相切，
因?yàn)橐訟M為直徑的圓C過點(diǎn)F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又kAF=
2-0
0-2
=-1，所以直線MF的方程為y=x-2，
由
y=x-2
x2
8
+
y2
4
=1
消去y，得3x2-8x=0，解得x=0或x=
8
3
，
所以M（0，-2）或M（
8
3
，
2
3
），
（1）當(dāng)M為（0，-2）時(shí)，以AM為直徑的圓C為：x2+y2=4，
則圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=
|0-2×0-2|
12+(-2)2
=
2
5
5
≠
2
5
3
，
所以圓C與直線x-2y-2=0不相切；
（2）當(dāng)M為（
8
3
，
2
3
）時(shí)，以AM為直徑的圓心C為（
4
3
，
4
3
），半徑為r=
1
2
|AM|=
1
2
(
8
3
)2+(
2
3
-2)2
=
2
5
3
，
所以圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=
|
4
3
-
8
3
-2|
5
=
2
5
3
=r，
所以圓心C與直線x-2y-2=0相切，此時(shí)kAF=
2
3
-2
8
3
-0
=-
1
2
，所以直線l的方程為y=-
1
2
x+2，即x+2y-4=0，
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為x+2y-4=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且cos∠F1PF2的最小值為
1
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)圓x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）與橢圓C相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過的定點(diǎn)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動(dòng)弦，且M、N均在橢圓C上，定點(diǎn)T（4，0），直線MF與直線NT交于點(diǎn)S．求證：
    ①點(diǎn)S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動(dòng)圓過F2且與直線x=-1相切，求動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點(diǎn)M，N，橢圓C1上有兩點(diǎn)P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線l1過橢圓C1的左焦點(diǎn)F1，且與x軸垂直，動(dòng)直線l2垂直于直線l2，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（III）設(shè)C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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