Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且

AF

•

FB

=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知c，進(jìn)而根據(jù)

AF

•

FB

=1求得a，進(jìn)而利用a和c求得b，故可得橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F恰為△PQM的垂心，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M，F(xiàn)的坐標(biāo)求得直線(xiàn)PQ的斜率，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用

MP

•

FQ

=0求得m，即可得到直線(xiàn)的方程．．

解答：解：（1）由題意知c=1，
又

AF

•

FB

=1，
∴（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F恰為△PQM的垂心，則
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M(jìn)（0，1），F(xiàn)（1，0），故k_PQ=1，
于是設(shè)直線(xiàn)l為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵

MP

•

FQ

=x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
由韋達(dá)定理得2•

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0
解得m=-

4

3

或m=1（舍）
經(jīng)檢驗(yàn)m=-

4

3

符合條件，故直線(xiàn)l方程為y=x-

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．