Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=

1

2

AD，E是線段AB的中點．
（Ⅰ）求證：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅲ）求PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AD⊥PE，再證明PE⊥AB．AD∩AB=A，推出PE⊥平面ABCD．然后證明PE⊥CD．
（Ⅱ）說明PE是四棱錐P-ABCD的高．求出PE=

3

．然后求出VP-ABCD=

1

3

SABCD?PE=

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

=

3

．
（Ⅲ）以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz．推出

ED

=(2，1，0)，

EP

=(0，0，

3

)，

PC

=(1，-1，-

3

)．設

m

=（x，y，z）為平面PDE的法向量．利用由

m ? ED =0 m ? EP =0

即，

2x+y=0 3 z=0

可得

m

=（1，-2，0）．設PC與平面PDE所成的角為θ．利用sinθ=|cos＜

PC

，m＞|=

| PC ?m|

| PC ||m|

=

3

5

．推出PC與平面PDE所成角的正弦值為

3

5

．

解答：（Ⅰ）證明：因為AD⊥側面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，
所以PE⊥AB．
因為AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱錐P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=

1

2

AD，可得BC=1．
因為△PAB是等邊三角形，
可求得PE=

3

．
所以VP-ABCD=

1

3

SABCD?PE=

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

=

3

．（9分）
（Ⅲ）解：以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz．
則E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．

ED

=(2，1，0)，

EP

=(0，0，

3

)，

PC

=(1，-1，-

3

)．
設

m

=（x，y，z）為平面PDE的法向量．
由

m ? ED =0 m ? EP =0

即，

2x+y=0 3 z=0

令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
設PC與平面PDE所成的角為θ．
sinθ=|cos＜

PC

，m＞|=

| PC ?m|

| PC ||m|

=

3

5

．
所以PC與平面PDE所成角的正弦值為

3

5

．（14分）

點評：本題是中檔題，利用空間直角坐標系通過向量的計算，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力，常考題型．