Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin⁶x+cos⁶x，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①f（x）的值域?yàn)閇0，2]；
②f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$；
③f（x）的圖象對(duì)稱軸方程為x=$\frac{kπ}{4}$（k∈Z）；
④f（x）的圖象對(duì)稱中心為（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}$，$\frac{5}{8}$）（k∈Z）
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③④（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）化簡(jiǎn)y=sin⁶x+cos⁶x，再由二倍角公式化簡(jiǎn)解析式，
根據(jù)余弦函數(shù)的值域判斷①；由三角函數(shù)的周期公式判斷②；由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程和整體思想，求出f（x）的對(duì)稱軸判斷③；由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心和整體思想，求出f（x）的對(duì)稱對(duì)稱中心判斷④．

解答 解：y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-$\frac{3}{4}$sin²2x=$\frac{5}{8}$+$\frac{3}{8}$cos4x，
①、因?yàn)?1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，1]，①不正確；
②、由T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$得，f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，②正確；
③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）圖象的對(duì)稱軸方程是$x=\frac{kπ}{4}（k∈Z）$，③正確；
④、由$4x=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，$x=\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}（k∈Z）$，
則f（x）的圖象對(duì)稱中心為（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}$，$\frac{5}{8}$）（k∈Z），④正確，
綜上可得，正確的命題是②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式，以及立方和公式的應(yīng)用，考查整體思想，化簡(jiǎn)、變形能力