Question

已知函數(shù) f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax（a≥0）．
（1）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由x=2為f（x）的極值點(diǎn)，所以f^′（2）=0，由此列式求出實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，說明當(dāng)x∈[3，+∞）時(shí)函數(shù)有意義，據(jù)此判斷出a≥0，根據(jù)（1）中求出的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0在[3，+∞）上都有解既能說明y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；然后由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0在[3，+∞）上都有解求出a的范圍取交集；
（3）把a=-

1

2

代入函數(shù)解析式，整理方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

，分離出變量b，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題．

解答：解：（1）由函數(shù) f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax
得：f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a
=

2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a

2ax+1

=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．
因?yàn)閤=2為f（x）的極值點(diǎn)，所以f^′（2）=0．
即

2a

4a+1

-2a=0，解得：a=0．
又當(dāng)a=0時(shí)，f^′（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點(diǎn)成立．
（2）由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
則g（x）＞0與g（x）＜0在區(qū)間[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的對稱軸為x=1-

1

4a

＜1，
因此只要g（3）＜0即說明g（x）＜0在區(qū)間[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：a＜

3- 13

4

或a＞

3+ 13

4

．
因?yàn)閍≥0，所以a＞

3+ 13

4

．
綜上所述，a的取值范圍是（

3+ 13

4

，+∞）．
（3）若a=-

1

2

時(shí)，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

可化為：lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．
問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因?yàn)間（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0．
所以，當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，使方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有實(shí)根的b的最大值為0．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了分類討論思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在給定的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，說明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上不同號，此題有一定難度，屬難題．