Question

（2012•上海二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AC與BD交于點O，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=12°，PA=4．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若點E在線段BO上，且二面角E-PC-A的大小為60°，求線段OE的長．

Answer 1

分析：（1）證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定，只需證明PA⊥BD，AC⊥BD；
（2）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)，即可求得結論．

解答：（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，
因為PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC；
（2）解：由（1）知，EO⊥平面PAC，過O作OF⊥PC，連接EF，則EF⊥PC
∴∠EFO為二面角E-PC-A的平面角，即∠EFO=60°
在直角△PAC中，PA=4，AC=4，∴∠PCA=45°，∴OF=OC×sin45°=

2

在直角△EOF中，OF=

2

，∠EFO=60°，∴OE=OF•tan60°=

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點評：本題主要考查空間線面關系的垂直關系的判斷，考查面面角，正確運用線面垂直的判定，作出面面角是關鍵．