Question

11．已知集合A={x|0＜ax+1≤3}，集合B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}
（1）若a=1，求∁_AB；
（2）若A∩B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入不等式化簡集合A，然后由補集運算求得∁_AB；
（2）分類求解集合A，由A∩B=A，得A⊆B，再由兩集合端點值間的關(guān)系列式求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，A={x|0＜x+1≤3}={x|-1＜x≤2}，
又B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
∴∁_AB={x|-1$＜x≤-\frac{1}{2}$}∪{2}；
（2）A={x|0＜ax+1≤3}，
若a=0，則A=R，不合題意；
若a＜0，則A={x|0＜ax+1≤3}={x|$\frac{2}{a}≤x＜-\frac{1}{a}$}，B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
由A∩B=A，得A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-4；
若a＞0，則A={x|0＜ax+1≤3}={x|$-\frac{1}{a}＜x≤\frac{2}{a}$}，B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
由A∩B=A，得A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{\frac{2}{a}＜2}\end{array}\right.$，解得a≥2．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4）∪[2，+∞）．

點評 本題考查交集、并集、補集的混合運算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，明確兩集合端點值間的關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．