Processing math: 6%
14.已知正數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+12-2an+1=an2+2an.數(shù)列{bn}滿足bn•bn+1=3n且b2=9.
(I)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(Ⅱ)已知cn=2nan+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

分析 (I)化簡a2n+1-2an+1=a2n+2an可得an+1-an=2,從而求數(shù)列{an}的通項公式;由bn•bn+1=3n且b2=9可得數(shù)列{bn}隔項成等比數(shù)列,公比都為3,從而分段寫出bn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}},n為奇數(shù)}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.;
(Ⅱ)記數(shù)列{2nan}的前n項和為Sn,利用錯位相減法求其前n項和,記數(shù)列{bn}的前n項和為Fn,利用分類討論與整體思想求其前n項和,從而解得.

解答 解:(I)∵{a}_{n+1}^{2}-2an+1={a}_{n}^{2}+2an,
∴(an+an+1)(an+1-an-2)=0,
∵an>0,∴an+1-an=2,
故數(shù)列{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
故an=1+2(n-1)=2n-1;
∵bn•bn+1=3n且b2=9,
∴b1=\frac{1}{3},\frac{_{n+2}}{_{n}}=3,
故數(shù)列{bn}隔項成等比數(shù)列,公比為3,
故bn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}},n為奇數(shù)}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.;
(Ⅱ)記數(shù)列{2nan}的前n項和為Sn,
Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n,
2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1,
兩式作差可得,
Sn=-2-2•22-2•23-2•24-…-2•2n+(2n-1)•2n+1,
故Sn=-2-\frac{8(1-{2}^{n-1})}{1-2}+(2n-1)•2n+1=(2n-3)•2n+1+6;
記數(shù)列{bn}的前n項和為Fn,
當n為偶數(shù)時,
Fn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn
=(\frac{1}{3}+9)•\frac{1-{3}^{\frac{n}{2}}}{1-3}=\frac{14}{3}•({3}^{\frac{n}{2}}-1);
當n為奇數(shù)時,
Fn=Fn-1+bn=\frac{14}{3}•({3}^{\frac{n-1}{2}}-1)+\frac{1}{3}{3}^{\frac{n-1}{2}}=5•{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{14}{3};
而Tn=Sn+Fn
故Tn=\left\{\begin{array}{l}{(2n-3)•{2}^{n+1}+6+5•{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{14}{3},n為奇數(shù)}\\{(2n-3)•{2}^{n+1}+6+\frac{14}{3}({3}^{\frac{n}{2}}-1),n為偶數(shù)}\end{array}\right.

點評 本題考查了分類討論的思想方法的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用,同時考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用,屬于難題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件:(1)f(x)是奇函數(shù);(2)f(1+x)=f(1-x);(3)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;(4)f(1)=1,則在x∈[-2k,2k]時(k為非零正整數(shù)),函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的個數(shù)是( �。�
A.2k-1B.2kC.2k+1D.k+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時f(x)=1-|x|,又g(x)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}-\frac{1}{x+1},x≤1}\\{\frac{elnx}{x},x>1}\end{array}\right.,則方程g(x)=f(x)在區(qū)間[-2016,2016]上實根的個數(shù)為( �。�
A.2015B.2016C.2017D.2018

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.不等式\frac{2-x}{3x+2}≥0的解集是( �。�
A.[-\frac{2}{3},2]B.(-∞,-\frac{2}{3})∪[2,+∞)C.(-\frac{2}{3},2]D.(-∞,-\frac{2}{3}]∪[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.邊長為整數(shù)的直角三角形的一條直角邊等于106,求它的斜邊上的高.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知數(shù)列{an}中,a1=1,\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{n},則數(shù)列{an}的通項公式為an=n.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.若函數(shù)f(x)=2sinx+acosx,且已知函數(shù)f(x)+f′(x)為偶函數(shù),則實數(shù)a的值為2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.執(zhí)行如圖所示程序框圖,若將輸出的數(shù)組(x,y)依次記為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則程序結(jié)束時,最后一次輸出的數(shù)組(x,y)是(  )
A.(1007,-2012)B.(1009,-2016)C.(1008,-2014)D.(1010,-2018)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2b=a+c,且A-C=90°,則cosB=( �。�
A.\frac{\sqrt{2}}{4}B.\frac{3}{4}C.-\frac{1}{4}D.\frac{2}{3}

查看答案和解析>>

同步練習冊答案