分析 (I)化簡a2n+1-2an+1=a2n+2an可得an+1-an=2,從而求數(shù)列{an}的通項公式;由bn•bn+1=3n且b2=9可得數(shù)列{bn}隔項成等比數(shù)列,公比都為3,從而分段寫出bn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}},n為奇數(shù)}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.;
(Ⅱ)記數(shù)列{2nan}的前n項和為Sn,利用錯位相減法求其前n項和,記數(shù)列{bn}的前n項和為Fn,利用分類討論與整體思想求其前n項和,從而解得.
解答 解:(I)∵{a}_{n+1}^{2}-2an+1={a}_{n}^{2}+2an,
∴(an+an+1)(an+1-an-2)=0,
∵an>0,∴an+1-an=2,
故數(shù)列{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
故an=1+2(n-1)=2n-1;
∵bn•bn+1=3n且b2=9,
∴b1=\frac{1}{3},\frac{_{n+2}}{_{n}}=3,
故數(shù)列{bn}隔項成等比數(shù)列,公比為3,
故bn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}},n為奇數(shù)}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.;
(Ⅱ)記數(shù)列{2nan}的前n項和為Sn,
Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n,
2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1,
兩式作差可得,
Sn=-2-2•22-2•23-2•24-…-2•2n+(2n-1)•2n+1,
故Sn=-2-\frac{8(1-{2}^{n-1})}{1-2}+(2n-1)•2n+1=(2n-3)•2n+1+6;
記數(shù)列{bn}的前n項和為Fn,
當n為偶數(shù)時,
Fn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn)
=(\frac{1}{3}+9)•\frac{1-{3}^{\frac{n}{2}}}{1-3}=\frac{14}{3}•({3}^{\frac{n}{2}}-1);
當n為奇數(shù)時,
Fn=Fn-1+bn=\frac{14}{3}•({3}^{\frac{n-1}{2}}-1)+\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}}=5•{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{14}{3};
而Tn=Sn+Fn,
故Tn=\left\{\begin{array}{l}{(2n-3)•{2}^{n+1}+6+5•{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{14}{3},n為奇數(shù)}\\{(2n-3)•{2}^{n+1}+6+\frac{14}{3}({3}^{\frac{n}{2}}-1),n為偶數(shù)}\end{array}\right..
點評 本題考查了分類討論的思想方法的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用,同時考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2k-1 | B. | 2k | C. | 2k+1 | D. | k+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2015 | B. | 2016 | C. | 2017 | D. | 2018 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-\frac{2}{3},2] | B. | (-∞,-\frac{2}{3})∪[2,+∞) | C. | (-\frac{2}{3},2] | D. | (-∞,-\frac{2}{3}]∪[2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1007,-2012) | B. | (1009,-2016) | C. | (1008,-2014) | D. | (1010,-2018) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{\sqrt{2}}{4} | B. | \frac{3}{4} | C. | -\frac{1}{4} | D. | \frac{2}{3} |
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