Question

9．邊長為整數(shù)的直角三角形的一條直角邊等于106，求它的斜邊上的高．

Answer 1

分析 設(shè)另外兩邊為a，c（c為斜邊），根據(jù)勾股定理列出方程，由a，c均為整數(shù)得出a，c的值．

解答 解：設(shè)直角三角形的另一直角邊為a，斜邊為c，
則由勾股定理得：c²-a²=106²，
即（c+a）（c-a）=106²=2×2×53×53．
∵c+a＞106＞c-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+a=53×53}\\{c-a=2×2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×53×53}\\{c-a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×2×53}\\{c-a=53}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×2×53×53}\\{c-a=1}\end{array}\right.$．
∵a，c都是整數(shù)，∴2c為偶數(shù)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×53×53}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，解得a=53²-1=2808，c=53²+1=2810，
斜邊上的高為$\frac{106a}{c}$=$\frac{106×2808}{2810}$=105.925．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的應(yīng)用，數(shù)的分解，屬于中檔題．