設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PF1•PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,求出a,b,c的值,然后設(shè)P的坐標(biāo),根據(jù)PF1•PF2的表達(dá)式,按照一元二次函數(shù)求最值方法求解.
(Ⅱ)設(shè)出直線方程,與已知橢圓聯(lián)立方程組,運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出根的關(guān)系,求出k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題意易知
所以
設(shè)P(x,y),
=
因?yàn)閤∈[-2,2],
故當(dāng)x=0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),
有最小值-2
當(dāng)x=±2,即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),
有最大值1

(Ⅱ)顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件,
可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立,消去y,整理得:

得:


又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)
=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
==
,
即k2<4∴-2<k<2
故由①、②得:

點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力.本題為中檔題,需要熟練運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理.
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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
短軸長(zhǎng)為2,P(x0,y0)(x0≠±a)是橢圓上一點(diǎn),A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為-
1
4

(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),M、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn),若
F1M
F2N
=0
,求MN的最小值.

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(09年豐臺(tái)區(qū)二模)(14分)

設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。

   (I)若M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;

    (II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為鈍角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍。

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設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為          .

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設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn),短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;
(3)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(5,0),求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程.

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