Question

如圖1，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)將△ABC沿DE、EF、DF折疊，使A、B、C三點(diǎn)重合，構(gòu)成三棱錐A-DEF如圖2．
（Ⅰ）求平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M、N分別在AD、EF上，

AM

MD

=

EN

NF

=λ（λ＞0，λ為變量）．
①當(dāng)λ為何值時(shí)，MN為異面直線AD與EF的公垂線段？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
②設(shè)異面直線MN與AE所成的角為α，異面直線MN與DF所成的角為β，試求α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、FG，則∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角，由此能求出平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值．
（Ⅱ）①當(dāng)λ=1時(shí)，M為AD中點(diǎn)，N為EF中點(diǎn)，連結(jié)AN，DN，由題意知AN=DN=

3

2

，從而MN⊥AD，同理可證MN⊥EF，由此得到λ=1時(shí)，MN為異面直線AD與EF的公垂線．
②過(guò)點(diǎn)M作MH∥DF，交AF于H，則∠HNM為異面直線MN與DF所成的角，由HN∥DF，得

AH

HF

=

AM

MD

，又

AM

MD

=

EN

NF

，從而

AH

HF

=

EN

NF

，HN∥AE，∠MNH為異面直線MN與AE所成的角，由此能推導(dǎo)出α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN=

π

2

．

解答： （Ⅰ）解：如圖，取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、FG，
由題意得AD=AE，△DEF為正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角，
由題意得AG=FG=

3

2

，
在△AGF中，
cos∠AFG=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-12

2× 3 2 × 3 2

=

1

3

．
（Ⅱ）①當(dāng)λ為1時(shí)，MN為異面直線AD與EF的公垂線．
當(dāng)λ=1時(shí)，M為AD中點(diǎn)，N為EF中點(diǎn)，
連結(jié)AN，DN，
由題意知AN=DN=

3

2

，
∴MN⊥AD，同理可證MN⊥EF，
∴λ=1時(shí)，MN為異面直線AD與EF的公垂線．
②過(guò)點(diǎn)M作MH∥DF，交AF于H，
則∠HNM為異面直線MN與DF所成的角，
由HN∥DF，得

AH

HF

=

AM

MD

，又

AM

MD

=

EN

NF

，
∴

AH

HF

=

EN

NF

，
∴HN∥AE，∠MNH為異面直線MN與AE所成的角，
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN，
由題意得，三棱錐A-DEF是正棱錐，
則點(diǎn)A在底面DEF上的射影為底面△DEF的中心，記為O，
∵AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，∴AE⊥DF，
又∵HN∥AE，∴∠MNH=

π

2

，
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，考查異面直線的公垂線的判斷與求法，考查兩角和的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．